第一次数学危机指古希腊数学家毕达哥拉斯的学生希帕索斯，在质疑根号二是否是有理数时引发的危机，直到定义出无理数，第一次数学危机得以解决。
公元前400年左右，以毕达哥拉斯为代表的毕达哥拉斯学派获得了丰硕的数学成果。例如他们提出了毕达哥拉斯定理（中国称勾股定理）。这个定理告诉我们：一个直角三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方。
同时，毕达哥拉斯学派认为万物皆数，而且都是有理数。所谓有理数，就是指可以表示成两个互质的整数的比（分数）的形式的数。有理数可以分成三类：
1. 整数。例如3（可以表示成3/1）
2. 有限小数。例如2.5（可以表示成5/2）
3. 无限循环小数。例如0.333...(可以表示成1/3）0.806806806...（可以表示成806/999）
毕达哥拉斯学派认为：数轴上的点与有理数一一对应，任意一个线段长度都可以表示成两个整数的比。
在毕达哥拉斯学派为自己的成就沾沾自喜时，学派内部一个年轻学者希帕索斯提出了一点疑问。请问如果一个直角三角形两个直角边都是1，那么斜边的长度如何表示成两个整数的比呢？
显而易见，这个长度是根号2。现在我们知道，根号二不是有理数，因此不能表示成两个互质的整数的比。但是这样就动摇了毕达哥拉斯学派信仰的基础：万物皆是整数（或整数的比）。
这个问题因为无法得到合理的解答，最终可怜的希帕索斯被毕达哥拉斯扔进了爱琴海里。希帕索斯也成为历史上为探究真理而献身的人。
现在我们知道，数轴上的点与实数一一对应，而实数包含有理数与无理数两类。所谓无理数，就是无限不循环小数，无法表示成整数的比。例如圆周率pi=3.1415926...、自然对数的底e=2.71828...、根号二等，都是无理数。
第一次数学危机是古希腊数学家发现了无理数，当时的人们不能理解无理数，他们认为数只有整数和分数。
突然有一天，他们研究边长为1的正方形，发现对角线不能用一个已知的数来表示，其实我们今天知道这个数是个无理数，即根号二。
后来数学家们把数分为可公度和不可公度，解决了第一次数学危机。
第二次数学危机是17世纪发现的微积分引发的，很多数学家认为微积分的基础很模糊，有缺陷，原因在于当时还不能正确认识极限的概念。
后来随着微积分相关理论的严格建立，并从纯代数学上给予证明，才客服了第二次数学危机。
第三次数学危机是集合论引发的。
19世纪70年代，康托尔创立了集合论，庞加莱在1900年国际数学家大会上宣称：“借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦…”
但就在第二年，英国逻辑学家罗素提出了一个“悖论”却指出，作为现代数学基础的集合论存在漏洞！这一发现直接导致了第三次数学危机。
罗素悖论是：集合S由一切不是自身元素的集合所组成。然后问：S是否属于S？如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。无论如何都是矛盾的。
后来罗素又以通俗的形式给出这个悖论，即“理发师悖论”：某乡村理发师宣布了一条原则，他给村里所有不给自己理发的人理发。那么试问，理发师是否给自己理发？如果他给自己理发，则不符合自己提出的原则，因此，不应该给自己理发；如果他不给自己理发，那么根据他的原则，又应该给自己理发。
德国数学家弗雷格在收到罗素介绍这一悖论的信后伤心地说：“一个科学家所遇到的最不合心意的事莫过于是在他的工作即将结束时，其基础崩溃了，罗素先生的一封信正好把我置于这个境地。”
为了消除悖论，数学家们纷纷提出自己的方案，建立新的原则。这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。
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