张居正的儿子共有六个张居正生平，分别是老大张敬修，老二张嗣修，老三张懋修，老四张简修，老五张允修，老六张静修。题主说的是人送外号“关节状元”的老三张懋修吧。
这件事在沈德符的《万历野获编》卷十四有记载：今上庚辰科状元张懋修，为首揆江陵公子，人谓乃父手撰策问，因以进呈，后被劾削籍，人皆云然张居正生平。沈德符说张居正出题，张懋修答题，所以张懋修才能考中状元。
张居正（图片来源张居正生平：网络）
我认为张懋修是有真才实学的，其一，从其唯一的传世之作《论书》中可以看出来他并不是纨绔子弟那般才疏学浅，从一些史料来看，也的诗写的也不差，但是其治国思想是不是有他老爹那样厉害就不得而知了，毕竟科举考试基本上都是四书五经。
其二，张居正当时身为内阁首辅，政敌颇多，如果他开后门给自己的儿子，那我估计张居正得被骂死，因为明朝的言官可不是摆设，他们连死都不怕更不要说怕张居正了。
其三，张居正曾给张懋修写过一封信，叫《示季子懋修书》，在信中他严厉的教育张懋修，有张居正这样的严父，张懋修可能作弊吗？显然是不可能的。信件部分内容如下：
吾家以诗书发迹，平生苦志励行，所以贻则于后人者，自谓不敢后于古之世家名德。固望汝等继志绳武，益加光大，与伊巫之俦，并垂史册耳！岂欲但窃一第，以大吾宗哉！吾诚爱汝之深，望汝之切，不意汝妄自菲薄，而甘为辕下驹也。老爹是内阁首辅，儿子是状元，这种事例在明朝还有一例，那就是杨廷和杨慎父子。当时的杨廷和是内阁首辅，权倾一时，而杨慎又高中状元。但是朝中罕有人拿此事作文章，为何？还是杨慎的名气太大了，身为明代三才子之首，杨慎确实是才高八斗，学富五车。虽然杨慎的结局不咋地，但他确实用自己的真才实学堵住了朝野上下的嘴。
杨慎（图片来源：网络）
张懋修的情况就不一样了，因为张居正政敌太多，而张懋修又不像杨慎那样有才学，再加上言官在万历朝已经是以死为荣了，所以张懋修给人一种错觉：在张居正的庇护下他才能得状元。
后来张居正人亡政息，他的儿子们也没有幸免于难，老大张敬修，因被严刑拷打而自杀，死后留下绝命书：有便，告知山西蒲州相公张凤盘，今张家事已完结矣，愿他辅佐圣明天于于亿万年也！
老二张嗣修被发配到边疆，情况不明。
老三张懋修见哥哥自杀而亡遂自杀，未遂，后被发配到边疆，在六十八岁的时候沉冤昭雪，得以放还，七十九岁卒于家中。
老四张简修被革职为民。
老五张允修，在明思宗时期不甘受辱自杀身亡。
老六张静修，生卒年不详。
野谈杂论，不实之处，还望指正，谢谢大家。
如果题主说的求情，是指抱着万历皇帝的大腿，磕头如捣蒜，求他不要抄张居正的家，满朝文武里确实没有。
如果题主说的求情，是指在万历皇帝下令抄家以后，对万历皇帝说张居正忠君为国，任劳任怨，或者对负责抄家的刑部侍郎丘橓说，阁下手下留情，下手轻点，别让咱们的小皇帝万历，在历史上留下“覆巢之下无完卵”的后世骂名，这样的求情倒是有。
尤其是张居正的儿子张敬修在不堪逼问而自缢以后，朝廷百官反应激烈，更多人开始给张家求情。
张居正死后被抄家的原因：万历皇帝抄冯保的家是诱因，辽王案是导火索，报复张居正是初衷，抄没张家财产是目的！在小皇帝万历当政的前几年，始终有三座大山压在他的身上，就像三团巨大的阴影，阴森森地笼罩在小万历的周围，挥之不去，阴魂不散。
这三座大山就是，万历的母亲李太后，内阁首辅张居正，司礼监掌印太监冯保。
张居正死去以后，万历帝开始独揽大权，他早已经对冯保很痛恨。他痛恨冯保的直接原因，是冯保在小万历当皇帝的前几年里，始终为李太后监视万历的一言一行。
只要万历皇帝稍有做的不对或者不好的，冯保那边立马就会通报李太后，接着李太后就会把小皇帝叫到自己宫里，劝诫或者训斥。
李太后训诫小皇帝万历，往往又会搬出张居正。李太后经常对小皇帝万历说，如果张师傅知道了你怎么样怎么样，他会怎么想怎么想。小万历对张居正，既有敬服，又有畏惧。
有御史看到张居正已经死了，就又开始攻击冯保。当时有个叫李植的御史，给万历皇帝上疏弹劾冯保，直书冯保的十二大罪。
同时，冯保在司礼监的对手张诚、张鲸也在万历面前攻击冯保。他们说冯保贪污腐败，家资富饶，甚至胜过皇上。
于是，明神宗万历下旨逮捕冯保，并派人去抄冯保的家。
这一抄不要紧，却惊呆了刚刚成年的万历皇帝。据史载，总共从冯保家里抄出金银一百余万两，各种珠宝更是无数。
万历皇帝尝到了抄家的甜头。于是他又打起做了近十年首辅的张居正的主意。张居正虽然死了，他的家财肯定还在，万历皇帝这么想。当然，张居正毕竟做了多年首辅，朝里朝外，很多都是张居正的人。包括内阁里那几个，都是张居正提拔上来的，只能一步一步来。
现在除掉了张居正在司礼监的盟友冯保，已经成年的万历，也对自己的母亲李太后不那么畏惧了。下一步就是对付死去的张居正。
万历首先做的，就是废除张居正变法里的那些新法。接着诏夺张居正生前死后的荣誉，先夺了他的上柱国和太师，再夺了他的文忠的谥号。最后，把在锦衣卫当锦衣卫指挥的张居正儿子张简修废为庶民。
御史们一看万历皇帝在报复张居正，有些人坐不住了，开始攻击张居正和张居正的党徒。当然，此时的内阁首辅申时行是张居正提拔的，他已经在尽力维护了。
然后，有个御史羊可立，又把多年前，张居正构陷辽王朱宪㸅的事扒拉了出来，接着辽王妃开始诉冤，辽王妃在诉状里控诉张居正说，辽王府的万千家财，都进了张居正的府里。
万历皇帝一听到万千家财，抄家的心思更加急切了。万历皇帝打定主意要抄张居正的家！万历皇帝要抄张家的消息传出来以后，立刻有大臣提出反对意见，实际上就是委婉地为张家求情。
比如，左都御史赵锦上疏说，当年明世宗嘉靖皇帝的时候，也抄过大奸臣严嵩的家，结果抄家人员肆意妄为，竟然连累了严嵩老家周围的好几个府县。现在朝廷又要去抄张家，恐怕对当地老百姓也会不利。“恐遗害三楚，十倍江西民！”
张居正是湖北荆州江陵人，古为三楚之地，故曰恐遗害三楚；严嵩是江西新余分宜人，故曰十倍江西民。
再比如，吏部尚书杨巍上疏说，张居正是辅政大臣，侍候皇上十年之久，任劳任怨，为皇上效犬马之劳，皇上这么干，恐怕会伤了天下臣民的心，尧舜这样的圣主肯定不会这么干。
其实，这些都是给张家求情呢！
但是，小皇帝万历报复心切，再加上对金银珠宝的热切欲望，和抄家抄出的快感，因此对这些人的求情一概未理。他仍旧派出了以司礼监太监张诚和刑部侍郎丘橓等为首的抄家大队！抄家大队的目的很明确，就是张家的财产。朝廷和民间，早已经有传言说，张家有白银二百万两之巨。
至于抄家的罪名，有三条，一是谋反，二是叛逆，三是奸党。丘橓素来跟张居正是政敌，他抓住这个机会，也要报复张居正。
丘橓等人来到江陵张家以后，荆州府和江陵县的大小官员全部到场，亲自封了张府。张家人全都躲在深宅里不敢出来，没有食物了，也不敢出去买。
据史载，在此期间，张家饿死了十余口人。再加上丘橓等人刑讯和逼供，张家人有死绝的危险。
可是，令万历皇帝和丘橓失望的是，他们从张家，一共只搜出黄金一万两和白银十万两，至于传说中寄存在宅外的二百万两白银，怎么也找不到，丘橓对张家人，尤其是张居正的儿子们刑讯逼供，也问不出结果。
这时候，张居正的儿子张敬修忍受不了拷问和毒打，愤然自缢身亡了。张敬修自缢之前，还留下了一封血书，传播当世。
张居正另一个儿子张懋修，也不堪拷问，想要投井自尽，结果没死成，然后他又绝食，仍然没死成，终于留下了一条性命。
张敬修的死，震惊了朝廷，朝廷百官纷纷开始为张家求情，其中包括首辅申时行、内阁辅臣许国、六部的堂官侍郎和张居正的学生、旧僚等大臣。申时行曾经给丘橓去信，告诉丘橓，别让咱们的小皇帝留下“覆巢之下焉有完卵”的千古骂名。
内阁辅臣，大学士许国也给丘橓去信说，阁下千万手下留情，别让后世骂咱们这辈人重财轻人。
张居正的学生于慎行，更是痛彻心扉，给丘橓去了一封信，言词沉痛，慷慨陈词，为张家求情。这封书信，当时传颂天下，文武百官争相诵读。
但是，这些书信，丘橓都置若罔闻。我们前面说过，丘橓跟张居正是政敌，张居正当政时，不喜欢丘橓，曾经打压过丘橓，丘橓报仇心切，对张家人心狠手辣，也就不足为怪了。
除了给丘橓去信，朝廷里的官员也上疏万历皇帝，给张家求情。比如，内阁首辅申时行联合六部大臣，乞求万历皇帝对张家从宽处理。
比如，刑部尚书潘季驯上疏说，张居正的老母已经年逾八旬，性命旦暮就可能不保，求皇上特旨宽宥她吧。
在朝廷百官的求情氛围中，丘橓等人在张家，又实在拷问不出更多财产的情况下，万历皇帝终于松口了。
他下令，在张家给张母留下一座空宅，另外留下四十亩田地，以让张母安度晚年。
至于张家的子孙，自杀的自杀，充军的充军，可谓家破人亡！
万历皇帝早先曾经对张居正说过，待张居正死后，“只是看顾先生的子孙便了。”
张居正恐怕万万不会想到，他的小皇帝学生万历在他死后，是这么看顾他的子孙的！
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